Continuidad de una función

¿Sabes qué significa realmente que una función sea continua? En este video del canal "Sergio Ruiz", te llevamos más allá de la idea de "no levantar el lápiz del papel" [00:09] para que domines la definición formal y entiendas por qué es tan crucial en el cálculo.

 

Las 3 Reglas de Oro de la Continuidad

 

Para que una función f(x) sea continua en un punto a, debe cumplir estas tres condiciones [00:29]:

1. f(a) debe existir (no puede haber un agujero indefinido) [00:39].

2. El límite de f(x) cuando x tiende a a debe existir (los límites laterales por la izquierda y la derecha deben ser iguales) [00:46].

3. El límite y el valor de la función deben ser el mismo (lim f(x) = f(a)) [01:00].

 

Tipos de DISCONTINUIDAD

 

Cuando una de estas reglas falla, tenemos una discontinuidad. Te enseñamos a identificar los tipos:

• Discontinuidad Evitable (o Removible): Hay un "agujero" en la gráfica que se podría "parchar" redefiniendo un solo punto [01:49].

• Discontinuidad Inevitable (o No Removible):

  • De Salto Finito: La gráfica "salta" de un valor a otro. Los límites laterales existen pero son diferentes [02:39].

  • De Salto Infinito: La gráfica se "dispara" hacia el infinito, generalmente en una asíntota vertical [03:19].

  • Esencial: El tipo más complejo, donde al menos un límite lateral ni siquiera existe [03:49].

 

¿Por Qué es TAN Importante la Continuidad?

 

• Permite modelar fenómenos del mundo real de forma predecible [05:09].

• Es la base del cálculo: una función debe ser continua para poder ser derivable [05:49].

• Es un requisito para teoremas poderosos como el Teorema del Valor Intermedio [07:09].

Además, repasamos qué tipos de funciones comunes (polinómicas, racionales, trigonométricas) son continuas y cómo analizar la continuidad en funciones a trozos [08:59, 10:09].

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