Cours Anneaux Et Corps Pdf

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munis d'un élément unitéA pour la multiplication, et nous dirons anneau au lieu d' anneau unitaireAnneaux Dé nition Un anneau est un ensemble Amuni de deux lois in-ternes notées + et, et de deux éléments notéset 1, tels que Ainsi les anneaux intègres sont ceux où l’on peut simplifier les produits, où sens où ab = 0)(a = 0)_(b = 0): Exemple Z et tous les corps sont des anneaux intègres. •⊕et ⊗sont associatives et commutatives sur R•Vue comme LCI sur N∗, + n’admet pas d’´el´ement neutre. Z=nZ est ©LaurentGarcin MPDumontd’Urville Groupes,anneaux,corpsNotiondeloi Loiinterne DéfinitionLoiinterne SoitEunensemble•Les lois ∪, ∩et ∆ sur P(F) sont associatives et commutatives. Si A 1;Asont deux anneaux non triviaux, l’anneau-produit AAn’est jamais intè-gre Z=nZ est intègre si et seulement si n est un nombre premier. Soit (a, b) ∈ A × B. Pour tous (x, y) ∈ A × B, nous avons (a, b)(x, y) = ANNEAUX ET CORPS Ce complØment de cours prolonge le chapitre(Groupes et corps) de Toutes les mathØmatiques (TLM1)Anneaux DØ–nition DØ–nition Des notes de cours seront régulièrement transmises par courriel sous forme pdf. ExerciceMontrer que les lois ⊕et ⊕sur R2 (cf exemples 1) admettent chacune un neutre La loi est associative et possŁde un ØlØment neutre dans A;notØ 1;di⁄Ørent deLa loi est distributive par rapport à +;à droite et à gauche, c™est-à-dire 8(a;b;c) 2A3;a (b+c) = a b+a c et (a+b) c= a c+b c: Si de plus la loi est commutative, l™anneau est dit commutatif U.F.R. Sciences et Technologies D epa rtement de Math ematiques et Informatique Licence de Math ematiques Troisi eme ann ee, 2 ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUXPolycopi e du cours Franc˘ois Dumas Anneaux et corps ousT les anneaux que nous considérerons sont unitaires, i.e. La référence principale utilisée pour ce cours sera le livre de Grégory B ERHUY, Algèbre, Ainsi les anneaux intègres sont ceux où l’on peut simplifier les produits, où sens où ab = 0)(a = 0)_(b = 0): Exemple Z et tous les corps sont des anneaux intègres. Elles admettent pour neutres respectifs ∅, F, et ∅. Nous avons (A × B)∗ = A∗ × B∗. Démonstration. Proposition Soient A et B des anneaux.